Foundations of quantum gravity. All the quantum tetrahedra: representations and their unitary equivalences

Abstract

In the quantum gravity literature, background-independent theories are based on the canonical quantization of the phase space of General Relativity (GR) in terms of connection and flux variables. There is also a dual description in terms of spin-network states, which were found to be related to simplicial dual geometries in the classical limit.

We want to describe the mathematical structure of a single tetrahedron in 3 dimensions, as the dual simplicial geometry of a 4-valent spin-network vertex, and develop in detail the mathematics applied to the quantization of this system, obtaining its Hilbert spaces with its corresponding unitary equivalent representations.

Las teorías de gravedad cuántica independientes de un fondo se basan en la cuantización canónica del espacio de fases de la Relatividad General (RG) en términos de variables de conexión y flujo, las cuales pueden ofrecer una descripción dual en términos de estados de redes de espín, que demostraron estar relacionadas con geometrías duales simpliciales en el límite clásico.

Queremos describir la estructura matemática de un solo tetraedro en 3 dimensiones, como la geometría dual de un vértice de red de espín de valencia 4, y desarrollar en detalle las matemáticas aplicadas a la cuantización de este sistema, obteniendo sus espacios de Hilbert asociados con sus correspondientes representaciones equivalentes