Sobolev Spaces of Vector-valued and Metric-valued Mappings

Abstract

Analysis in metric spaces emerged at the end of the 90’s where various areas of Mathematics come together such as Functional Analysis, Differential Geometry, Geometric Measure Theory, Probability, PDEs or Complex Variables. One of the main purposes of this field is to understand what are the strictly necessary elements that make certain definitions and results work to develop analytical and geometric tools that can be applied in spaces that have little structure a priori, in this case, in a purely metric context. As indicated in the expository article [17], which describes current developments in Analysis in metric spaces, some of the main lines that have been developed so far in this area have been Poincaré inequalities in metric spaces, quasi-conformal maps, non-linear Potential Theory, differentiability of Lipschitz functions, certain bi-Lipschitz immersion theorems, Fractal Dynamics or Geometric Measure Theory in metric spaces, among others...El Análisis en Espacios Métricos es un campo que surgió a finales de los años 90 donde convergen varias áreas de las Matemáticas como el Análisis Funcional, la Geometría Diferencial, la Teoría Geométrica de la Medida, la Probabilidad, las Ecuaciones en Derivadas Parciales o las Variables Compleja. Uno de los principales propósitos de este campo es comprender cuáles son los elementos estrictamente necesarios que hacen que ciertas definiciones y resultados funcionen para desarrollar herramientas analíticas y geométricas que puedan aplicarse en espacios que tienen poca estructura a priori, en este caso, en un contexto puramente métrico. Como se indica en el artículo expositivo [17], que describe los desarrollos actuales en el Análisis en Espacios Métricos, algunas de las principales líneas que se han desarrollado hasta ahora en esta área han sido desigualdades de Poincaré en espacios métricos, funciones cuasi-conformes, Teoría del Potencial no lineal, diferenciabilidad de funciones Lipschitz, ciertos teoremas de inmersión bi-Lipschitz, Dinámica Fractal o Teoría Geométrica de la Medida en espacios métricos, entre otros...