Simulación del acoplamiento de dos cuerdas vibrantes

Abstract

La motivación de este trabajo ha partido de un hecho experimental, acoplamiento de la vibración de una cuerda de guitarra en otra anudada a la anterior. Se trata de un modelo delicado que involucra la Teoría de Elasticidad y las Inecuaciones Variacionales. Para este primer acercamiento se han considerado unicamente las vibraciones de una cuerda que parte del reposo mecanico y es forzada unicamente en un extremo. No se ha encontrado en la literatura una presentacion del problema que nos ocupa, por lo que nos hemos detenido en el estudio de sus soluciones. El trabajo se divide en dos partes en las que respectivamente se abordan los problemas continuos y discretos. No se ha buscado el marco funcional mas amplio, salvo en contados comentarios, limitando esencialmente a la obtencion de soluciones clásicas. En el estudio del modelo continuo de evolución se obtiene un Principio de Conservación de la Energía, del que deducimos, entre otras consecuencias, la unicidad de soluciones con energía finita. Un marco funcional mas amplio hubiera permitido la resolución de un problema abstracto de Cauchy mediante una variante del Teorema de Hille-Yosida. En su lugar, se maneja el constructivo metodo de separacion de variables. Se ha comenzado con un estudio detallado del modelo sin forzamiento o de vibraciones libres, deteniéndonos en la obtención de soluciones clásicas hasta la frontera o en cualquier subconjunto compacto interior. En el siguiente capítulo se han estudiado las vibraciones producidas por un unico forzamiento en el extremo derecho de la cuerda, partiendo de un estado inicial nulo. Mediante un cambio de variables se ha pasado el forzamiento a la ecuacion. Al tratarse de un problema no ho- mogeneo, se ha usado el Principio de Duhamel para abordarle mediante la acumulación de familia de soluciones de problemas homogeneos, vibraciones libres. Se ha ilustrado esta aproximación con dos tipos de forzamientos: parabólicos y armónicos en las que la eventual coincidencia de su frecuencia con las naturales de vibración pueden producir el efecto de resonancia en frecuencia. El tratamiento numérico del modelo de evolución se ha basado en el estudio detallado del esquema centrado en diferencias finitas en el que intervienen operadores de segundo orden tanto temporal como espacial, lo que lleva a considerar, en primer lugar, solo al problema de valor inicial, despreocupándonos, de momento, de las condiciones de contorno. Para este esquema se ha usado el metodo de reducción de etapa sobre el que se presenta la versión adecuada del Teorema de Equivalencia y la noción ajustada de consistencia y estabilidad. Para esta ultima, por su profundidad, se ha usado el Análisis de von Neumann. El marco funcional empleado es el de las sucesiones de cuadrado sumable 2. Un fino uso de este tipo de sucesiones permite incluir la clase que comprende la consideración del comportamiento asociado a las condiciones de forzamiento. Sobre dicha clase se obtiene la representación vectorial, en dimensión finita, del esquema que tiene en cuenta no solo a la ecuación en derivadas parciales sino también a las condiciones de contorno asociadas. Además, sirve la restriccioón de estabilidad obtenida para el problema de valor inicial. Realizamos la simulación numérica y animación gráfica de vibraciones bajo forzamientos parabólicos y armónicos mediante sencillos scripts de Matlab. Finalmente, se ha incluido un apéndice en el que se han recogido algunos resultado usados cuya lectura separada no detiene la exposición del trabajo. También se incorpora una pequeña bibliografía contemplada