Cohomología de de Rham y fibraciones de esferas

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dc.contributor.advisorRuiz Sancho, Jesús M.
dc.contributor.authorCasado Noguerales, Rodrigo
dc.date.accessioned2023-06-17T10:56:49Z
dc.date.available2023-06-17T10:56:49Z
dc.date.defense2021
dc.date.issued2021-06-06
dc.description.abstractEn este trabajo desarrollamos con detalle la cohomología de de Rham, desde la orientación de variedades, la integración de formas o el teorema de Stokes, pasando por la sucesión de Mayer-Vietoris, hasta la dualidad de Poincaré. Todo ello se hace tanto para las formas diferenciables con soporte compacto como no compacto. En concreto, nos detenemos a estudiar en profundidad el Lema de Poincaré y su formulación en el caso con soporte compacto, obteniendo a partir de él la invarianza homotópica de la cohomología de de Rham. Con estas herramientas calculamos la cohomología de algunos espacios concretos significativos, como las esferas. De ahí pasamos a definir el invariante de Hopf de una función diferenciable entre esferas, cuyo cálculo permite probar la esencialidad de las fibraciones de Hopf. Concluimos probando la esencialidad de estas fibraciones de forma más general como consecuencia del teorema de elevación de homotopía y del teorema de Ehresmann para sumersiones propias.
dc.description.abstractIn this project we carry out a detailed study of the de Rham cohomology, from mannifold orientation, forms integration and Stoke’s theorem, including the Mayer Vietoris sequence, up to Poincar´e’s duality. We do so for both compact support and non compact support differentiable forms. We take special care to prove Poincaré’s Lemma and its equivalent version for the compact support case. With these tools we calculate the cohomology of some significant concrete spaces, like that of spheres. From there we define Hopf’s invariant for a differentiable function between spheres, which allows us to prove these fibrations’ essentiality by calculation of this invariant. We conclude proving this essentiality in a more general fashion as a consequence of the homotopy lifting theorem and Ehresmann theorem for proper submersions
dc.description.departmentDepto. de Álgebra, Geometría y Topología
dc.description.facultyFac. de Ciencias Matemáticas
dc.description.refereedFALSE
dc.description.statussubmitted
dc.eprint.idhttps://eprints.ucm.es/id/eprint/73545
dc.identifier.citation[Der59] J. E. Derwent. 'On the covering homotopy theorem'. En: Akad. Wetensch. Proc. Ser. A62 = Indag. Math. 21 MR107858 54.00 (55.00) (1959), p´ags. 275-279. [MT97] I. Madsen y J. Tornehave. From Calculus to cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes. Primera edici´on. Cambridge University Press, 1997. isbn: 0521580595. [Hat01] A. Hatcher. Algebraic Topology. Primera edición. 2001. url: http://pi.math. cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html. [AT11] M. Abate y F. Tovena. Geometria Differenziale. Primera edición. Springer, 2011. isbn: 97888470-19201. [Dun18] B. I. Dundas. A Short Course in Differential Topology. Primera edición. Cambridge University Press, 2018. isbn: 9781108425797. [PJR19] J. D. Porras, M. Jaenada y J. M. Ruiz. Topología algebraica muy elemental en dimensión muy baja. Primera edición. Sanz y Torres, 2019. isbn: 9788417765118. [GR20] J. M. Gamboa y J. M. Ruiz. Iniciaci´on al estudio de las Variedades Diferenciables. Cuarta edición. Sanz y Torres, 2020. isbn: 9788417765866. [ORR20] E. Outerelo, J. A. Rojo y J. M. Ruiz. ´ Topología diferencial, un curso de iniciación. Segunda edición. Sanz y Torres, 2020. isbn: 97884177658
dc.identifier.urihttps://hdl.handle.net/20.500.14352/10584
dc.language.isospa
dc.rights.accessRightsopen access
dc.subject.cdu515.14
dc.subject.keywordVariedades diferenciables
dc.subject.keywordCohomología de de Rham
dc.subject.keywordLema de Poincaré
dc.subject.keywordSoporte compacto
dc.subject.keywordSecuencia de Mayer-Vietoris
dc.subject.keywordInvariante de Hopf
dc.subject.keywordFibraciones de Hopf
dc.subject.keywordElevación de homotopía
dc.subject.keywordTeorema de Ehresmann
dc.subject.keywordSumersión propia
dc.subject.keywordSmooth mannifolds
dc.subject.keywordde Rham cohomology
dc.subject.keywordPoincaré’s Lemma
dc.subject.keywordCompact support
dc.subject.keywordMayer-Vietoris sequence
dc.subject.keywordHopf’s invariant
dc.subject.keywordHopf’s fibrations
dc.subject.keywordHomotopy lifting
dc.subject.keywordEhresmann theorem
dc.subject.keywordProper submersion
dc.subject.ucmMatemáticas (Matemáticas)
dc.subject.ucmTopología
dc.subject.unesco12 Matemáticas
dc.subject.unesco1210 Topología
dc.titleCohomología de de Rham y fibraciones de esferas
dc.typebachelor thesis
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