Patrones multimodales estables con simetría pentámera: el caso de los Crinoideos Rhodocrinítidos

Abstract

El origen de la conspicua simetría pentámera existente en los equinodermos es objeto de debate. Sin embargo, la organización de estos organismos pentarradiales jamás ha sido caracterizada, a ningún nivel de estudio, desde un punto de vista matemático. Partiendo de una ecuación de forma de gradiente, triadas de ondas resonantes ínteraccionando entre sí determinan el diagrama de estabilidad de los patrones de simetría pentámera generados por cinco ondas planas confinadas en regiones circulares. En este sistema, cada onda plana puede ser desarrollada como una serie infinita de modos de Bessel. Sin embargo, las condiciones del límite reducen el número posible de modos de Bessel a un conjunto discreto. Esta aproximación general al problema dc los patrones de simetría radial es desarrollada en este trabajo para estudiar la distribución y estructura de los elementos esqueléticos que integran los cálices globosos o en forma de bol de crinoides Camerados. Bajo las mismas condiciones teóricas generales la disposición de las placas en estos organismos pueden ser comparadas con experimentos hidrodinámicos. La estructura multimodal de estructura del cáliz de los crinoideos considerados demuestra que varios estados propios coexisten bajo un conjunto discreto de condiciones del límite, lo cual es el sello de un proceso altamente no lineal y por lo tanto de un patrón altamente no trivial. [ABSTRACT] The origin of the conspicuous pentamerism of echinoderms remains controversial. Curiously, the organization of diese living fivefold structures has not been characterized from a matitematical point of view in any case, at any level. Starting from an amplitude equation of grandient form, triad resonant interactions determine the stability diagram of fivefold patterns generated by five plane waves in circular regions. Each plane wave can be developed as an infinite series of Bessel modes. However, boundary constraints reduce the number of modes to a discrete set. This general approach is used here to study the skeleton plate arrangement of bowl or globose cup crinoids. The biological samples are compared to hydrodynamical experiments under the sarne general conditions of pattern selection. The multimodal structure of plate arrangement shows that many eigenstates coexist for a single set of boundary conditions which is the signature of a highty nonlinear, and hence, highly nontrivial pattern. The present mathematical tool could be analogously useful lo study echinoid skeletons.