H-principles for Holomorphic Partial Differential Relations

Abstract

In this Thesis we introduce the notion of the realifications of an arbitrary Holomorphic Partial Differential Relation, i.e. a subset of a jet bundle of local holomorphic sections. Our main result states that if any realification of an open Holomorphic Partial Differential Relation over a Stein manifold satisfies a relative to domain h–principle, then it is possible to deform any formal solution into one that is holonomic in a neighbourhood of a Lagrangian skeleton of the Stein manifold. If the Stein manifold is an open Riemann surface or it has finite type, then that skeleton is independent of the formal solution. This yields the existence of localh–principles over that skeleton. These results broaden those obtained by F. Forstneric and M. Slapar on holomorphic immersions, submersions and complex contact structures for instance to holomorphic local h–principles for complex even contact, holomorphic Engel or complex locally conformal symplectic structures...En esta tesis presentamos las realificaciones de una Relación en Derivadas Parciales Holomorfas arbitraria, es decir, de un subconjunto de un fibrado de jets de secciones locales holomorfas. El resultado principal determina que si las realificaciones de una Relación en Derivadas Parciales Holomorfas satisface un h–principio relativo a dominio, entonces es posible deformar cualquier solución formal de la relación para obtener una solución holónoma en un entorno de un esqueleto Lagrangiano de la variedad Stein. Si esta variedad es una superficie de Riemann abierta o tiene tipo finito, ese esqueleto puede ser escogido de manera independiente a la solución formal de partida. Esto tiene como consecuencia la existencia de h–principios locales entorno a ese esqueleto prefijado. Estos resultados amplían los obtenidos por F. Forstneric y M. Slapar para submersiones e inmersiones holomorfas y para estructuras de contacto complejas, obteniendo h–principios locales para estructuras de contacto par complejas, Engel holomorfas o localmente conformemente simplécticas-complejas..